2018年中国民航大学702数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且
, 又若
【答案】假设对任意的
, 使与
均有
, 则在（a , b ）上至少存在两点
, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？
f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或
, 这与
矛盾. 故至, 使
内恒正或恒负. 于是,
根据积分不等式性质有
少存在一点
且f （x ）在
假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则
每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有
在两边也异号. 所以
在两边同号,
但
由此知f （x ）在两边异号. 又函数
即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得
矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点
假设在（a , b ）内只两点
,
, 使得
, 则
即
, 且f （x
）在
, 使得
下证若
则f （x ）
每个区间内不变号. 从而由
推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得
即
, 其中
, 所以由上式知,
f x ）从而知（在在
. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）
内的符号分别为正、负、正, 故h （x ）在
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. 因为
与由于
每个区间内恒异号,
f x ）f x ）两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（在区间
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正. 又h （x ）是连续函数
, 所以但
矛盾. 可见在（a
, b ）内至少有三个点
使得
二、解答题
2．
要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=akm的B 城如图, 轮船运费的单价是元/km, 火车运费的单价是元/km省.
, 试求运河边上的一点M , 修建铁路MB , 使
的总运费最
图
【答案】设
, 则
, 总运费
由经检验
得
, 舍去负值
,
,
故M 点距C 点的距离为
.
（km
）时总运费最省.
3． 试作适当变换, 计算下列积分:
（1）（2）
【答案】 （1）令于是
（2）令于是
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, 则
则
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4． 按函数作图步骤, 作下列函数图像:
【答案】（1）
函数轴交于以下几点:
由
得稳定点
,
,
, 由
表
1 的定义域为
, 得
x=-2.
.
, 容易求得曲线与坐标
,
函数如图1所示
图
1
（2
）函数
的定义域为
.
由
得x=0由
得
曲线与坐标轴交于点（0, 0）. 由
表2
知. 曲线有垂直渐近线x=—1; 由
知, 曲线有水平渐近线
函数图形如图2所示
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