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一、证明题

1． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据项, 这与

的构造性质可知, 中,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖,

则在

中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

矛盾, 所以结论得证.

.

使

2． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且

试证:（1）【答案】（1）令（2）将结论中换成x

:即

亦即

,

或

由此可见, 令

3． 设f :是否必为闭集?

【答案】不一定, 反例:

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, 使

; （2）对任意实数必存在

. 对F （x ）在

上应用根的存在定理即可.

, 对F （x ）在

为任意开集

上应用罗尔定理即可.

为连续函数' 为任意闭集, 试问, f （A ）是否必为开集?f （B ）

（1）对于连续函数（2）对于连续函数 4． 设

【答案】由

知

且

|为开集, 但f （A ） = [0, 1）不是开集.

为开集, 但f （B ） = （0, 1）不是闭集.

证明:数列

收敛, 且其极限为

又因为

减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到 5． 设

证明

【答案】由于

收敛. 令

解得

由

知

即

数列是单调递

. 对（极限保号性）

舍去负根, 因此,

并说明其中等号何时成立.

因此

6． 设A 、B 皆为非空有界数集, 定义数集

【答案】对任意的于是

对于任意正数, 存在于是, 即

并且

存在. 因此

使得

故

使得

是A+B的一个上界.

则设

证明:

当且仅当

即

时, 原不等式中的等号成立.

二、解答题

7．

为R 中的开集

，（1）对每个（2）

试证:

【答案】首先证明因

的x 存在关于

存在.

使得

根据条件（2）

当

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2

为上的函数，且

中的y 一致连续.

①

（为开集），所以

时，有

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令

取极限，根据条件（1）可得

）.

将x 固定，由条件（1）于是由②式知

8． 设f

在

（c 为常数）. 【答案】由题意可知, 故故

其中

为常数.

9． 设S 为非空数集. 试对下列概念给出定义:

（1）S 无上界; （2）S 无界.

【答案】（1）设S 为非空数集, 若对任意的正数M , 总存在上界.

（2）设S 为非空数集, 若对任意正数M , 总存在

10．设f

（x , y）在

【答案】由己知f （x , y ）在

上连续, 且恒取正值, 试求

上存在最小值m 与最大值M , 使

且

则原式=

11．求不定积分

【答案】

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，共 27

页

；根据柯西准则

，知存在. 即等

式①左端极限存在，记之为A.

其次

，

（证明

由

利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得

使得

时证毕

.

上有任何阶导数, 记

, 且在任何有限区间内,

, 试证

②

在任何有限区间内连续, 且

由

积分可得

,

使得则称数集S 无

使得则称数集S 无界.

又因