2018年中北大学理学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 用定义证明:
【答案】先写出当
具体到本题, 由于
所以
, 取
, 当
. 和
时, 有
即
2． 设a n >0, 证明：当下极限
级数
发散.
， ，即
收敛.
，当n 足够大时，
，由比较判别法知，级数
发散.
，
，
时，级数
收敛；
当上极限
时，
和
时, 有
的精确数学定义.
,
【答案】 （1）由于当n 充分大时，由比较判别法知级数（2）由于即
3． 设u （x , y）在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明:
其中
是u （x , y ）沿L 外法线方向n 的方向导数.
, 所以
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【答案】因为
因为
在D 上具有连续偏导数, 由格林公式得
故
4． 证明:
f 为
I 上凸函数的充要条件是对任何函数.
【答案】充分性, 设
为[0, 1]上的凸函数,
则对任何的
及
故f （x ）为I 上的凸函数.
必要性, 设f （x ）为I 上的凸函数, 则对任何的
及
有
.
, 有
, 函数.
为[0, 1]上的凸
故
为[0, 1]上的凸函数.
二、解答题
5．
设以u , v 为新的自变量变换下列方程:
（1）（
2
）
【答案】（1）因所以
将（2）
所以
代入原方程, 并化简得,
设
,
设
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将上述
代入原方程
, 并化简得
上有
在
即
6． 设函数
u=f（x , y
）在
【答案】首先证明若对上任意两点所以由因而
.
, 试求u 关于x , y 的函数式. 上连续
, 则
由中值定理
对x 的任意性, 知
,
从而
）与x 无关, 即, 据上述结论知,
.
.
再求u 关于x , y 的函数式. 因
所以
7． 求下列幂级数的收敛域:
（1）（2
）
【答案】（1）设
, 则
故收敛半径为（﹣R , R ）.
（2）设
则:
故收敛半径为
又
所以原级数在
时发散, 故收敛域为
8． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛, 则求其值:
（1）（4）
; （2）; （5）
（3） （6）
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，共 27 页
, 又当故原幂级数在时发散, 收敛域
时,
; |