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一、证明题

1． 在曲线y=x上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q , 证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

【答案】设曲线切线方程为交点为

因此,

. 曲线上点P 坐标为

,

即

由由方程组

在Q 点的切线斜率

得该曲线过点P 的切线斜率

,

,

解出切线与曲线的

3

, 即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

二、解答题

2． 设f 是以

为周期, 且具有二阶连续可微的函数,

若级数

绝对收敛, 则

【答案】因f 是以且

为周期且具有二阶连续可微的函数,

故

从而

所以

由于

, 故

也是周期函数,

3． （1）设在上可导. 若存在使

（2）设在上可导, 设存在

使

设

【答案】[1]存在

证明:存在使得

.

使

[2]方法一 反证法:假设结论不真. 则对所有不妨设对一切当n 充分大时, 若有令

必有

都有

则有或者

则

上严格单调递增.

对上述不等式取极限, 则得

这与条件矛盾； 同理对所有若下设

因为

的数

存在

从而由Rolle 定理知, 存在若②当（x ）在

③当设

在

时,

处取到最大值, 则有

, 必有在

或者

时

,

处取到最小值, 则有

, 则

任取一点作

不恒等于

都有, 则存在

时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立. 则使得

类似可证）

函数

使得使得

在

内连续, 所以对任意取定

结论自然成立；

方法二 ①当为有限数时, 若

（对

上面的推理仍然正确.

易知

易知

在

内可取到最大值,

在

内可取到最小值, 设f

（2）由于对所有

由导函数的介值定理, 对所有故有

在

上严格单调递增, 或

上严格单调递减.

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所以都存在；

下用反证法证明结论成立, 假设结论不真, 令令

若对一切当n 充分大时, 有令

则对任意

则有对所有

都有.

有

对上述不等式取极限, 则得

这与条件矛盾； 同理对所有即存在

4．

设

（1）求证

:【答案】（1）令

则

同理

所以 （2）

要使

均有于是必有

或者

.

.

则在. 上严格单调递增,

都有

使得

时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立,

,

;

.

（2）

f （r ）是什么函数时,