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一、证明题

1． 设数列数列

与

满足：存在正数M , 对一切n 有都收敛.

又

存在正整数N , 当

所以

是单调有界数列，故

收敛. 由柯西

由柯西收敛准则知，

2． 设

【答案】方法一由于是当

时，有

即方法二设

由所以

3． 证明：若数列

(1) 级数.

有>发散；

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证明：:

【答案】因为

收敛准则知，对任意的

于是

时，有

收敛.

证明：

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使

令

可得

，则

(2) 当时，级数

【答案】(1) 级数的前n 项和

则

(2) 级数的前n 项和

故级数发散.

4． 求证

：

【答案】对任意给定的

由柯西中值定理，

使得

只需再证明

将(1) 式左端中的变易为x 作辅助函数

由此可

见

是函

数

的最大值点. 于是

显然由(2) 式推出(1) 式，所以本题结论成立.

是

函数

在

内的惟一极值点，并且是极大值点. 从

而

二、解答题

5． 设

【答案】当所以

又根据定义得

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求

时，

所以

6． 求曲线

绕直线

旋转所成的曲面的表面积.

，则曲面的表面积为

【答案】这是星形线，充分考虑到对称性

7． 求函数

的傅里叶级数并讨论其收敛性.

【答案】因为延拓函数为按段光滑的偶函数，故

所以由收敛定理，当

时

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