2017年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设由行列式表示的函数
其中
的导数都存在，证明
【答案】记
由行列式定义知f 为元的可微函数且
于是由复合函数求导数法则知
记①右边行列式中的代数余子式为则
从而代入②，得
其中
是将元素
去掉后得的
阶行列式，它恰为行列式
中的代数余子式，于是由③知
2． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：
(1
) (2
)
【答案】(1) 对任意的
有
于是
故
(2) 对任意的
有
于是
故
3． 利用单调有界原理证明下列结论：
(1)
设(2)
设(3)
设
等。
【答案】(1) 因为
所以
单调递增. 由不等式
得
即
有上界，从而数列
收敛.
(2) 因为
所以
即
单调递减.
则数列则数列
收敛； 收敛；
则
与
都存在且相
又因为所以
即有下界. 从而数列收敛。
因为
(3) 由已知所以当
时有
又
所以
单调递减，
单调递增，从而当
时，有
即
有下界，
有上界，从而它们的极限都存在. 设其极限分别为和
则对
两
边取极限得
4． 证明：若级数
【答案】假设发散.
也发散
m ，收敛. 因_
.
M
；也发散.
收敛，这与题设
. 发散矛盾，
所以若
. 故级数
二、解答题
5． 求下列函数在指定点的导数：
（1）设
（2）设
（3）设.
【答案】⑴
（2）
（3）当x>0时，故
求
求
求