2017年长江大学应用数学806数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续，在
内二阶可导，证明：
【答案】记
则过三点
的抛物线为
令而
又
由
立即可得出结论.
使得
【答案】设f 在与G (x ) 在
内具有二阶导数. 不妨设
令
使得
再令
则其中
从而
令
则有
且
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使
则故存在
2． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明：对充分小的h , 存在
则
上满足柯西中值定理的条件，故存在
在于是
上满足拉格朗日中值定理的条件，故有
3． 设集
证明:复合函数【答案】设点存在又且
其中
使对一切
在xy 平面中的点集E 上一致连续
在D 上一致连续，
在E 上一致连续. 为D 上任意两个点. 由于只要
在E 上一致连续，因此，对上述的时，有
因此
故复合函数
在E 上一致连续.
4． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛：
(1)
(2) 【答案】
由于(不妨设
其中
)
而
即数列
(2) 对
所以存在正整
数
收敛.
)
取
则当
时有
所以数列
收敛.
由于(不妨设
当
时
有
于是
当
时
有
且
在D 上一致连续，
从而对任给的就有
存在
把点集E 映射为平面中的点
使当
二、解答题
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5． （1）问
【答案】（1
）因为
从而
是否是周期函数？并画出它的图形（其中
所以
； ：表示的整数部分）
按
的定义，
即得
（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？
即是以1为周期的周期函数，其图像如图所示
.
图
（2）不一定. 例如，函動
就不是周期函数.
6． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。
【答案】如图所示，静压力的微元
则
图
7．
计算三重积分与累次积分
【答案】(1) 由于被积函数为
因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分，又由
从而
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其中V
由所确定
；
区域V 用平行于xy 平面的平面截得的是一个圆面，即