2017年深圳大学FS69线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
，求一个4×2矩阵B , 使AB=0, 且R （B ）=2.
，因R （B ）=2, 故
且
线性无关.
是方程Ax=0的解；并旦这方程的
【答案】设B 按列分块为又因
系数矩阵A 的秩R （A ）=2.于是可知
是它的一个基础解系
.
得
分别取，得此方程的一个基础解系为，.
于是，令
2． 设
（1）证明
就满足题目的要求.
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A
与对角阵
=1, 从而R =1, 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】
首先证明
相似，其中
于是只有一个非零对角元，即
其次，求A 的非零特征值，因再求A 的特征向量. ①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
②用两种方法求对应于方法一：
由对称矩阵性质知
的特征向量
的非零解. 而由⑴式
都正交，
即是方程
知
故可取方法二：由有
3． 试证；由
两边转置得这样
就是A 的n 个线性无关的特征向量
按定义，即知A 有非零特征值且对应特征向量为
.
所生成的向量空间就是另一方面
，则因
&线性相关，于是B 可由
【答案】所生成的向量空间记作L ，显然故
线性无关. 但向量组综上知
4． 已知线性变换
，
线性表示，也即B ∈L.
所以
求从变量【答案】记系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
又，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，于是从变量
到变量
的线
于是即
5． 由
，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关，
由
也线性无关. 又因
，
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，故
于是
则知向量组
与
等价，从而
也是对称阵.
（因A 为对称阵），故
6． 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明
【答案】根据矩阵乘积的转置规则，有
由定义. 知为对称阵.
7． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：
（1）（2）
【答案】（1）増广矩阵
据此，得原方程组的同解方程
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