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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可由 3． 设次型.

A. B.

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0

C. 为非正实数 D. 不等于-1

【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当时，f 为正定二次型.

方法3 设

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

方法4令

所以f 为正定的. 4． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】 C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

5． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.

故

但当a=l时，

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明：

存在正交方阵U 使

其中D 为主对角线上元素为阵；

【答案】由于A 为实反对称矩阵，故可知A , 为实对称矩阵. 设A 的特征根为

从而的特征根为其平方，即

于是存在正交矩阵

使

其中D 为主对角线上元素为（3）的对角矩阵

. 由于故

中有向量

线性子空间【答案】由

（为实数）的对角矩

而

7． 在标准欧几里得空间

求向量在w 上的正交投影.