2017年兰州交通大学数理学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
第 2 页，共 48 页
中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的. 3． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由 4． 若
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
第 3 页，共 48 页
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设二次型
（1）求二次型的矩阵的所有特征值； （2）若二次型的规范形为【答案】（1）二次型
的矩阵
求α的值.
由于
所以A 的特征值为
（2）解法1由于
的规范形为故有当兰. 当
时，时
.-时，
所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又
第 4 页，共 48 页
所以A 合同于
此时的规范形为
此时的规范形为
此时的规范形为
其秩为2，
于是
不合题意.
不合题意.
综上可知，
解法2由于的规范形为
相关内容
相关标签