2017年兰州理工大学理学院870高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 （否则与 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组 的两个线性无关的解. 二、分析计算题 6． 设 是n 维欧氏空间V 中一组向量，而 证明：当且仅当【答案】设 时， 则 线性无关. 是一个m 元二次型. 线性无关的充分必要条件是对任意不全为0的 都有 即有 故是正定矩阵，当然反之，设若有则有 亦即 由于 7． 设满足 【答案】因为则在之下显然任取故又若但 8． 设 则有 则有 从而 维数相同，故 是 则 的一个同构映射，并令 此方程组只有零解，即有都是数域K 上的n 维空间且 故 线性无关. 为V 的子空间）. 证明：存在的子空间 是n 维欧氏空间V 子空间，且的维数小于的维数，证明：必有一个非零向量正 即可. 交于中一切向量 【答案】证法1:由于恰由一切与h 正交的向量组成，所以只要证明
相关内容
相关标签