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一、解答题

1． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:

（1）（2）

【答案】（1）由于D 的面积为, 所以, 的平均值

（2）由D 的体积为

, 令

, 得

, 所以

所以平均值

2． 计算第二型曲线积分:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）因

其中L 为螺线其中L 为圆周其中L 为

, 依逆时针方向;

与z 轴所围的闭曲线, 依顺时针方向; 从而

（2）由圆的参数方程. （3）

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沿t 增加方向的一段;

其中L 为从（1, 1, 1） N （2, 3, 4）的直线段.

, 则

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（4）直线的参数方程是:x=1+t, y=1+2t, z=1+3t （

）,

3． 求下列函数的高阶偏导数:

（1）（2）（3

）

（4）（

5）（6）（

7）

【答案】 （1）

（2

）

（3

）

（

4

）所以

（5

）

（6）设

则

（7）

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所有二阶偏导数； 所有二阶偏导数；

所有二阶偏导数； ，所有二阶偏导数；

，

由归纳法知，

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4．

设函数项级数

（1）证明此级数在（2

）求其和函数.

【答案】

（1

）对每一个固定的x>0, 有

利用正项级数的比较判别法知, 但由于收敛.

（2）设由于级数的通项出. 因此,

如果级数

但由（1）知,

在在

,

而

是以

为公比的几何级数, 其和可以求

在

上收敛. , 所以级数

在

上不一致

,

.

上收敛但不一致收敛;

上满足逐项求导定理的条件, 那么S （x ）便可求出. 上不一致收敛,

也就是说

在

上考虑上述问题. 显然V n （x ）在

上有连续上不满足

逐项求导定理的条件

. 为了克服这—困难, 我们在缩小的区间

, 使

的导数. 由

,

记

知, 是可得

特别地,

. 由

x 0的任意性,

5． （1）计算积分

（2）设z=f （x , y）在闭正方形

,

证明存在

, 使得

;

上连续, 且满足下列条件:

. , 都有

在

上一致收敛. 因此,

在

上可逐项求导, 于

, 这里A 是（1）中的积分值.

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