2018年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了 2．
设明:
由又因为故有
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律. 【答案】不妨设
知
为绝对收敛级数，可记
否则令
因为
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
为绝对收敛级数.
令即可.
证
并讨论
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
3． 若
【答案】因为
，证明:.
•，所以得
由此得
结论得证.
4． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
5． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
存在，试证明:
6． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
，且的UMVUE ,
，则
的特征函数，由唯一性定理知是
的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
且X 与Y 独
的UMVUE ，是
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
7． 设分别是的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
，且对任意一个
，
，分别是
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，由判断准则知
因此
8． 设
是的UMVUE.
为独立随机变量序列，且
证明:服从大数定律.
相互独立，且
【答案】因
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
9． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
10．设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
服从大数定律.
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
上取值，
时，有
相互独立，
分布函数，即
的相互独立性可导致
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互