2018年云南农业大学资源与环境学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ）, 则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间是什么？
【答案】
2． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10分钟，且各件产品的组装时间是相互独立的.
（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率； （2）保证有【答案】记知
的可能性，问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟），则由
（1）根据题意所求概率如下，再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
3． 掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为试求概率
利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为
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从中解得
点数之平均为
【答案】由题意可得
很接近于1.
4． 有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球. 从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n-l 个口袋中任取一球放入第n 个口袋. 最后从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率.
【答案】记A=“从第i 个口袋中取出的是白球”，因为
，知
下用归纳法，设
，则由全概率公式得
所以由归纳法知:
5． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.
【答案】分几步进行. （1）
先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义
显然
，而当k ≥ 1时有
（2）
由此递推公式可导出前四阶原点矩
.
（3）
再计算前四阶中心矩；
所以泊松分布是正偏分布，愈小偏度愈大.
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（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。
.
所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖哨
6． 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048, 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44，问这一天纤度的总体标准差是否正常（取
）？
【答案】这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为
，查表知， 此处n=5, 若取显著性水平故拒绝域为
，由样本数据可计算得到
因此拒绝
，认为这一天纤度的总体标准差不正常.
试证因而
所以
不是
的无偏估计.
8． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，若超过他未等到服务而离开窗口的次数，试求
【答案】因为
，其
中
他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内
所以得
不是
的无偏估计.
7． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知，由于是参数的无偏估计，即
二、证明题
9． 证明:若明:
与
是未知参数
的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得
几乎处处成立，即
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