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一、计算题

1． 口袋中有n-1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？

【答案】记事件

为“第k 次摸到黑球”，因为计算

较难，故先计算

由于口袋

中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球变，故

2． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取

【答案】这里的原假设和备择假设分别为

拒绝域为

当取

时，

检验统计量

u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.

3． 设

是来自

【答案】由于

所以

的值依赖于

它是的函数, 记为

其中值, 即

于是, 只

要

. 最小的常数为

就可保证对任意

的

有

表示N （0, 1）的密度函数, 由于

这说明

故

从而

为减函数, 并在

处取得最大于是,

其导函数为

的样本, 试确定最小的常数c , 使得对任意的

有

）？

，样本标准差s=2.6cm，

则前面k-1次一定

不能摸到白球，即前面k-1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白球数不

4． 如果X 的密度函数为

试求

【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图

.

图

因此所求概率为

5． 一个电子设备含有两个主要元件, 分别以X 和Y 表示这两个主要元件的寿命（单位:h ）. 若设其联合分布函数为

试求这两个元件的寿命都超过120h 的概率. 【答案】所求概率为

这表明:两个主要元件的寿命都超过

的概率为0.0907.

，样本标准差s=0.22.

6． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值

（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处

，的

置信区间为

从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得

置信区间为

，因而的置信水平为0.99的置信区间为

（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；

查表知

7． 设某项维修时间T （单位：分钟）服从对数正态分布

（1）求p 分位数（2）若（3）若【答案】因为

1）的p 分位数，则由

求该分布的中位数；

求完成95%维修任务的时间. 所以

记

为

的p 分位数，为N （0，

知

（1）因为所以（2）由（3）因为

8． 设流经一个

所以当

知：

为

时. 完成95%的维修任务的时间

电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间. 试求此电阻

上消耗的平均功率，其中功率

【答案】因为I 〜U （9，11），所以平均功率为

二、证明题

9． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

10．设

（1）（2）（3）

的泊松分布.

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？