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一、计算题

1． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：

【答案】

2． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数

求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率

且X ，Y

【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故

显然

相关系数

所以故又而

的联合概率分布：

所以故

从而得到故得到（X ，F ）

（2）

3． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过lOmin ，他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求

【答案】因为Y 〜b （5，p ），其中

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所以得

4． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，定

而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.

【答案】令

即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ），其中

因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为

5． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数. 则X 〜b （5，p ），Y 〜b （3，p ）.

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

即

上述不等式可简化为从而有

6． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

7． 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手进行一次射击的命中率.

【答案】记事件A 为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，3，4，且记

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由题设条件知

由此解得

8． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.

【答案】设事件且

所以由全概率公式得

得递推公式

将

代入上式可得

由此得

为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记

则有

二、证明题

9． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

10．证明:对任意常数c , d , 有

【答案】

由

得

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, 且X 与Y

因为

的特征函数, 由唯一性定理知

所以由X 与Y 的独立性得