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一、计算题

1． 设X 与Y 相互独立, 分别服从参数为

【答案】因为

, 所以

这说明:

2． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程

反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程

试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.

【答案】一般不重合. 因为回归方程

可化为

而

化为

当且仅当数据

3． 设

试证

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和的泊松分布, 试求

服从二项分布b （n , p ）, 其中

所以

若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则

时两条直线重合. 我们知道，

表示相关系数的绝对值为1，即n 组

1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.

不重合时，它们一定有交点

为抽自正态总体

的简单随机样本. 欲估讨

为枢轴量，其中k 为已知常数： 【答案】因为

，故

其中

是自由度为n-l 的非中心t 分布，其非中心参数

为已知常数. 又

所以

4． 下表是经过整理后得到的分组样本:

表

试写出此分组样本的经验分布函数. 【答案】样本的经验分布函数为

的分布与

无关，即为枢轴量.

5． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X=所掷的轮数，则

所以

其中

1-p=P（重新掷）=P（出现三个正面或出现三个反面）

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

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6． 有一个分组样本如下表:

表

1

试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度. 【答案】计算过程列表如下表:

表

2

因而可得样本均值, 样本标准差、样本偏度和样本峰度分别为

7． 设

拒绝域取为第二类错误的概率.

【答案】在得

也就是

犯第二类错误的概率为

8． 掷一枚不均匀硬币，一直掷到正、反面都出现为止. 记出现正面的概率为均抛掷次数.

【答案】记X 为直到正、反面都出现时的抛掷次数，则X 可取值2，3，…，且有

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是来自正态总体

的样本，考虑检验问题

试求c 使得检验的显著性水平为0.05, 并求该检验在

因而由

处犯

为真的条件下，

所以当c=0.98时，检验的显著性水平为0.05. 该检验在处

试求平