2017年长春理工大学理学院理论力学(加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1 图所示, 球M 质量为m , 在一光滑斜管中从点B 开始自由下滑. 已知斜管AB 长为21, 对铅垂轴．
的转动惯量为J , 它与铅垂轴的夹角为x 与斜管转速
斜管的初角速度为
摩擦不计. 求:（1）小球对点0位置
之间的关系；（2）小球沿管道的运动微分方程
.
图
【答案】（1）不计摩擦, 则系统对铅垂轴的动量矩守恒, 得:
解得:
（2）将动坐标系建立在AB 上, 将非惯性系中质点动力学方程向分解, 得:
其中,
解得小球沿管道的运动微分方程为:
化简得:
沿AB 方
2． 应用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程. 分别以下列参数为广义坐标:（1）转角水平坐标x ; （3）铅垂坐标
y.
（2）
图
【答案】如图所示. （1）以
为广义坐标, 则可得:
代入拉格朗日方程运动微分方程为:
（2）以x 为广义坐标, 对约束方程即所以可得:
将L=T-V代入拉格朗日方程得:
（3）以y 为广义坐标, 对约束方程
所以有
将L=T-V代入拉格朗日方程得:
得:
求导可得:
求导可得:
3 如图所示, 在测定碰撞恢复因数的仪器中, 有一均质杆可绕水平轴0转动, 杆长为．, 质量为
杆上带有用试验材料所制的样块, 质量为m. 杆受重力作用由水平位置落下, 其初角速度为零, 在铅垂位置时与障碍物相碰. 如碰撞后杆回到与铅垂线成角处, 求恢复因数e. 又问:在碰撞时欲使轴承不受附加压力, 样块到转动轴的距离x 应为多大？
图
【答案】设样块距离转动轴X , 在碰撞前瞬间杆的角速度为得:
其中,
样块的速度为
根据动能定理
设碰撞后杆的角速度是, 样块的速度是v , 碰撞后杆回到与铅直线成角处, 由动能定理得:
其中,
根据恢复因数的定义得:联立以上各式解得:
当撞击点是撞击中心时, 处不会有附加压力, 此时x 应满足以下条件:
其中表示杆和样块组成系统的质心, 则有:
解得:
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