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一、计算题

1 质量为．

长为1的均质杆OD , 在其端部连接一质量为

半径为r 的小球, 如图1所示. 杆OD

以匀角速度绕基座上的轴O 转动, 基座的质量为m. 求基座对突台A , B 的水平压力与对光滑水平面的垂直压力

.

图1

【答案】以整体为研究对象, 受力和加速度分析如图2所示

.

图2

由质心运动定理可得: 在水平方向上:在竖直方向上:即,

2． 一刚性均质杆重为200N.A 处为光滑面约束, B 处为光滑铰链支座, 如图所示. 当杆位于水平位置时, C 处的弹黉拉伸了76mm , 弹黃刚度系数为8750N/m.求当约束A 突然移去时, 支座B 处的约束力

.

图

【答案】由平面运动微分方程可得:

其中

解得

3． 空间任意力系向两个不同的点简化, 试问下述情况是否可能:

（1）主矢相等, 主矩也相等； （2）主矢不相等；主矩相等； （3）主矢相等, 主矩不相等； （4）主矢、主矩都不相等。

【答案】主矢与刚体中心无关, 若向不同的点简化, 主矢总相等, 故（2）（4）不可能, 而主矩与简化中心有关, 故（3）可能, （1）亦可能, 此时两点位于主矢作用线上。

4． 图（a ）所示置于光滑水平面上的槽形板和在槽形板上做纯滚动的均质圆柱的质量均为m ，连接槽形板与圆柱中心的水平弹簧的弹簧刚度系数为k. 用拉格朗日方程写出系统的运动微分方程和初积分

.

图

【答案】系统具有两个自由度，选槽的水平线位移中

为弹簧原长处，如图（b ）所示. 系统的动能为

式中

为圆柱质心C 的绝对速度，

且有; 为圆柱的角速度，有

代入后整理得

系统为保守系统，其势能为

则拉格朗日函数为

将拉格朗日函数代入拉格朗日方程

和

运算后可得系统的运动微分方程为

因为拉格朗日函数中不显含坐标

所以对应

有循环积分（广义动量积分）

又因为系统为保守系统，其机械能守恒，即具有能量积分，为

5． 质量为m 的滑块M 可沿光滑杆OA 运动，而杆OA 又在水平面内以匀角速度运动的速度大小

（2）杆

作用在滑块M 上的横向力F 的大小

.

绕铅垂轴O 常数，即

为圆柱对质心C 的转动惯量，

有和圆柱的水平线位移

为广义坐标，其

转动[见图（a ）].设滑块M 在距O 点处被无初速地释放，试求任意瞬时，（1）滑块M 沿OA 杆