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一、证明题

1． 设分统计量.

【答案】由几何分布性质知，

其分布列为

在给定

后，对任意的一个样本

有

是来自几何分布

的样本，证明

是充

该条件分布与无关，因而

是充分统计量.

个

和个

譬如

这n 个分布，且

把此序列分成n 段，每段中

的个数依次记为

这里诸

服从几何

这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个

我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在

给定后

的

是等可能的，

即每一个出现的概率都是条件联合分布.

这个条件分布还表明:

当已知统计量

的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本

它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.

在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.

2． 设

即它不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

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，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，

»

即

将

式两端对求导，并注意到

，有

这说明我们将

，即

.

式的两端再对求导，得

由此可以得到，记

则

9

从而，进一步，

3． 证明:若

为

的UMVUE.

，C-R 下界为.

.

故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示

为

且U 与V 独立，从而有

由于

将两者代回可知，在

时，若r 为奇数，则

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若r 为偶数，则

证明完成. 进一步，当当

时，

4． 设总体

证明:

【答案】大家知道:则

分别是时，

（此时要求（此时要求为样本，

分别为, 的无偏估计，设

的UMVUE.

是0的任一无偏估计，

否则均值不存在）， 否则方差不存在）.

*

即

将

式两端对求导，并注意到

有

这说明为证明是

，即

，于是

式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

这表明这就证明了是

5． 设随机变量X 取值

【答案】

的概率分别是

. 证明

:

由此可得到的UMVUE ,

，因而

t

，下一步，将

式两端对

求导，略去几个前面已经指出积分为0

，从而是的UMVUE.

的UMVUE ，我们将

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