2017年中央民族大学理学院843高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可由线性表出.
2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
所以f 为正定的. 5． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
二、分析计算题
6． 设A ，B 是两个
实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明存在一
使
是实对称矩阵，故有正交矩阵令
则
同时为对角形.
7． 由行列式定义证明：
为对角矩阵. 因为
是正交矩阵，故
记
实可逆矩阵T 使
同时为对角形.
【答案】因为B 是正定矩阵，故有可逆矩阵