2017年中央民族大学理学院843高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
.
）
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 4． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
则A 与B （ ）.
C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3，3，0；而
二、分析计算题
6． 已知下列非齐次线性方程组
，用导出组的基础解系表示通解； （1）求解方程组（1）
（2）确定方程组（2）中参数m ，n ，t 为何值，方程组（1）和（2）同解. ，将其增广矩阵用行初等变换化为简化阶梯形
【答案】（1）解方程组（1）
方程组的一般解是
其中是自由未知量. 取特解为导出组的基础解系（2）将特解
通解为
为任意数.
，解得m=2, n=4, t=6.当m=2, n=4, t=6时解（2），
代入（2）
，因而当m=2，n=4, t=6时两方程组同解. 于是（2）的一般解也是（3）
7． 设n 阶矩阵A 的元素均为整数，有理数程组
只有零解。 【答案】不妨设事实上，由于
只要证明
的系数行列式不等于0即可. 为既约分数（即
且p 与q 互质），线性方
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