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一、证明题

1． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

2． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

所以

由于,

与

的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

3． 设是来自正态分布的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

4． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明

：

【答案】由又因为所以得 6． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

进一步由

得

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而是充分统计量.

7． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

8． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

二、计算题

9． 设

是来自帕雷托（Pareto ）分布

,

的样本（a>0已

知）, 试给出的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

令都是

,

取

的充分统计量.

现收集了15组数据，

经计算有

后经核对，发现有一组数据记录错误，正确

数据为（1.2，32.6），记录为（1.5，32.3）.

（1）求（3）若

修正后的LSE ;

作修正，

修正后的量分别记为

, 由因子分解定理

,

或

10．设回归模型为

（2）对回归方程作显著性检验

给出对应响应变量的0.95预测区间. 则

【答案】（1）由于有一组数据记录错误，

应将