2018年上海交通大学安泰经济与管理学院840运筹学与概率统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而 2． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
又故 即证 3． 证明:
【答案】不妨设
. ，则
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是充分统计量.
为总体的样本,
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
是
的无偏估计量.
另一方面，还有
综合上述两方面，可得
4． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
所以由
诸
的相互独立性
得
5． 设随机变量独立同分布，且
的特征函数
为
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6． 设是来自的样本，的密度函数为
已知，试证明，是
于是
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
所以的费希尔信息量为，这就是说
的任一无偏估计的C 一R 下界为
又
这就证明了
7． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
将
式两端对求导，并注意到
，有
这说明我们将
，即
.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
则
9
从而，进一步，
为
的UMVUE.
，C-R 下界为.
.
是
的有效估计，从而也是UMVUE. ，求
的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
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