2018年上海交通大学安泰经济与管理学院840运筹学与概率统计之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
因此 2． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
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证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，分别是
，由判断准则知
，且对任意一个
，
是的UMVUE.
分别为样本的均值
相互独立知,
也相互独立,
所以
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
时,
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
知从而将①, ②代入
可得
① ②
从而得到目的最大似然估计量为
3． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
这就证明了
4．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
5． 用概率论的方法证明:
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的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
时上式达到最小，最小值为，它小于的均方误差.
【答案】设故
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
的泊松分布
服从参数
6． 设证明:统计量
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从且的反函数当
则
仅在
上取值，所以当
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在时，
当
分布函数，即
上取值，
时，有
相互独立，
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
为连续严增函数，则也存在. 于是
当
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
的相互独立性可导致
7． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
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与分别是两个样本方差.