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一、计算题

1． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：

【答案】

的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆

表示xOy 面上的双曲线

面，或表示yOz 面上的双曲线

表示xOy 面上的椭圆

绕x 轴旋转一周而生成

绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面

.

绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲

绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面

.

绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲

表示xOy 面上双曲线

面，或表示xOz 面上双曲线

绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面

表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋

转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.

2． 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:

及

及

及

。

和，于是

因此

（用极坐标）

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及

；

（含有z 轴的部分）

【答案】（1）解法一：利用直角坐标计算。由

，即在xOy 面上的投影区域D xy 为

消去z ，

解得

解法二：用“先重后单”的积分次序求解。 对固定的z ，当0≤z ≤2时，

，于是

（图1）

当2≤z ≤6时，

图

1

（2）解法一：利用球面坐标计算，球面方程分别为

和

，故

（图2）

及圆锥面

的球面坐标

图

2

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解法二：用“先重后单”的方法计算

由

于是

和

解得z=a，对固定的z ，当0≤z ≤a 时

，

当0≤z ≤2a 时，

。

（3

）利用柱面坐标计算。曲面

，消去z ，得于是

和

的柱面坐标方程分别为

（图3）。因此

和

，故它们所围的立体在xOy 面上的投影区域为

图3

（4）在直角坐标系中用“先重后单的方法计算。由z=1。

对固定的z ，当0≤z ≤1时，

（图4）。于是

当0≤z ≤时，

和

可解得

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