2017年北京市培养单位理论物理研究所601高等数学(甲)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
。
D 可改写为
，于是
（图1）
，其
中
图1 图2
（2）所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
，因此
（图2）
（3）所给二次积分等于二重积分其中
又D 可表示为
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，其
中
，
。
，因此 （图3）
图3 图4
（4）所给二次积分等于二重积分其中
又D 可表示为
（5）所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
，故
（图5）
，其
中
，
。
，故
（图4）
图5 图6
（6）如图6，将积分区域D 表示为
，
于是
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，其中
2． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
（1）y=x，x=y，绕y 轴； （2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴； （3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
3． 分别按下列条件求平面方程：
； （l ）平行于xOz 面且经过点（2，﹣5，3）； （2）通过z 轴和点（﹣3，1，﹣2）
（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，﹣2）和（5，1，7）.
【答案】（l ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By ＋D=0.将点（2，﹣5，3）代入，得﹣5B ＋D =0，即D=5B.因此，所求平面方程为By ＋5B=0，即y ＋5=0.
（2）所求平面过z 轴，故设所求平面方程为Ax ＋By=0.将点（﹣3，1，﹣2）代入，得﹣3A ＋B=0，即B=3A.因此，所求平面方程为Ax ＋3Ay=0，即x ＋3y=0.
（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By ＋Cz ＋D=0.将点（4，0，﹣2）及（5，1，7）分别代入方程得﹣2C ＋D=0及B ＋7C ＋D=0.解得
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所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
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