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一、证明题

1． 设

【答案】

因为

. , 所以

. 证明

.

,

于是

.

又因为

, 所以存在N , 当n>N时,

有

2． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知（2）若显然

，

使

下面证明上面条件为充分条件，

在[0, 1]上连续,

，使

故

3． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

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与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

, 故由定理可知数列收敛,

设

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点. 上严格单调且

在

上可积,

,

4． 证明:若f 在[a, b]上可积, 在则有

【答案】设点的任何取法, 只要

则由定积分定义, 对任给的

, 就有

由f （x ）在[a, b]上可积知, f （x ）在结论显

然成立.

现设定理知且

时, 恒有

对

于

上的任何分割

‘上对

令

, 则得

用拉格朗日中值定理, 得

的一个分割. 从而当

时（此时

满足

且

故

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（2）不动点

. , 使得对[a, b]的任何分割及分

上有界. 设. 如果M=0, 则f （x ）=0, 此时

,

由于

在上连续, 又由于

在

在上可积, 故有界, 又由导函数的达布

,

使得当

没有第一类间断点,

故

上连续. 从而一致连续, 故存在

及任意分

点,

在

, 且

）, 有

即

5． 证明:（1）若函数f （X ）, g （x ）连续, 则函数

也连续;

（2）设

令函数f 的值f （x ）等于三值证明:f 在[a, b]上连续; （3）令

f （X ）为实函数.

证明:f （X ）连续的充要条件是【答案】（1）因为

又因为函数f （x ）, g （x ）连续, 所以

.

也连

续.

（2）由题意知,

由（1）的结论得（3）

由连续函数的运算性质, 即知它们都连续.

:连续, 并且已知

在[a, b]上连续, 故由连续函数的运算性质知f （x ）在[a, b]上连续.

也连续,

由连续函数的运算性质知对任意固定的n , 都是X 的连续函数.

在[a, b]上连续,

中介于其他二值之间的那个值.

,

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