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一、计算题

1． 求冲激响应。

某线性时不变系统的输入、输出关系为

试求： （1）冲激响应（2）

时，引起的零状态响应；

（3）把（2）得到的结果加到另一个线性时不变系统时，其零状态响应为时，求 此系统的冲激响应。

【答案】（1）当输入

时，输出为冲激响应

（2）有输入、输出的关系可得由卷积特性得所以

设另一系统的冲激响应为零状态响应且

所以

2． 某连续时间LTI 系统的模拟框图如图1所示。其中a 为常数。当输入信号为x （t ）=1时，系统的输出

。

，画出零极点图并标明收敛域; （l ）试确定系统函数H （s ）

，并判断系统的因果性和稳定性; （2）试求该系统的单位冲激响应h （t ）（3）该系统是什么类型的滤波器?

（4）写出描述该系统输出关系的微分方程。

因为

当

时

图1

【答案】（l ）根据系统模拟框图，围绕相加器列写方程，可以得到:

由

可知：

a=4

则极点

零点

又根据题意当输人信号为x （t ）=1时，系统的输出含虚釉。于是ROC :Re{s}>-2。零极点图与收敛域如图2所示:

可知，系统稳定，则收敛域应包

由极点可知系统函数的收敛域可能为:

图2

（2）由（l ）可知系统函数为:

利用部分分式法得

因此该系统是因果、稳定系统。 （3）系统频率响应为

则

由此可知该系统是低通滤波器。

（4）由系统函数可以写出系统微分方程为

3． 某低通滤波器具有升余弦幅度传输特性，其相频特性为理想特性。若

，其中

表示式为

为理想低通传输特性

试求此系统的冲激响应，并与理想低通滤波器之冲激响应相比较。 【答案】已知

，则

因为

则系统冲激响应为

由上述结果可知，升余弦滤波器的冲激响应是将理想低通滤波器冲激响应移

个单位后和

分别左移、右

分别乘以相应系数的叠加。与理想低通滤波器相比，此系统的冲激响应也

有类似的抽样函数的形状， 但主瓣更宽，为理想低通滤波器的两倍，同时幅度减小。