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一、证明题

1． 证明下列各式

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）令（2）设

代入原方程有:

（3）令（4）令

则则

,

因此

因此

2． 设

【答案】

因为

. , 所以

3． 设f （x ）在[0, 1]上连续且满足

. 证明

.

证明:

【答案】显然,

, 有

对上式从0到1积分, 得

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, 则

,

因此

则

,

于是

.

又因为

, 所以存在N , 当n>N时,

有

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在上式两边同乘以正数

, 得

最后一步的不等式是根据函数

有最大值而得到的.

上有界, 则f 在R 上有界.

有

对于任意

即

故

在R 上有界.

, 必存在惟一整数

4． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k , 使得

在于是

上有界, 所以存在

使得对任意

正数h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期, 因而

二、解答题

5． 设f （x ,

y

）是区域

问极限【答案】令

.

上的有界k

次齐次函数（k ≥1），

是否存在? 若存在，

试求其值.

由于f （x ,

y ）是区域上的有界k 次齐次函数

，

6． 计算积分

其中

是球面

的外侧（R>0）.

【答案】利用高斯公式，再利用球坐标变换

可得

7． 求螺旋线

【答案】

则

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对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L

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8． 设a>0, b>0,

求

【答案】当

和

.

时

, 被积函数趋向于

0,

所以积分是正常积分. 注意到

则原积分可写成

由于

在

（设a

记

, 连续使用分部积分法可得

即

于是

9． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数:

（1）（2）（

3）

【答案】（1）（i ）f （x ）及其周期延拓的图像如图1所示,

图1

显然f （x ）在因为

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内按段光滑, 由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数,