2018年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数f 在点, 使
.
内不存在使
, 使得
. 这与假设矛盾. . 再由f
可得
*
故
2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:
, 使
【答案】记
, 则过三点
的抛物线为
令而
又
由
3．
设级数
立即可得出结论. 与级数\
都发散，
试问
与
两级数均发散，但
，即
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上连续, 且,
, 则当
, 则在
时,
内至少有一
（或
【答案】用反证法. 如果在
）总成立. 否则, 若存在
值定理, 存在
设当
, 使得时,
. 根据连续函数的介
这与题
设矛盾. 故
在内至少存在一
点
使
, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在使
一定发散吗？又若与都发散时
，
收敛.
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
又如，（2）当
与
，两级数均发散，且均非负时，则
发散.
一定发散. 这是因为:由
发散知存在
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
二、解答题
4． 据理说明:在点（0, 1）近旁是否存在连续可微的f （x , y ）和g （x , y ）,
满足f （0, 1）=1, g （0, 1）=﹣1, 且【答案】设
则
（1）F , G 在以P 0（0, 1, 1, ﹣1）为内点的R 内连续； （2）F , G 在R 内具有一阶连续偏导数； （3）（4）
4
4
由隐函数组定理知, 方程组在P 0附近惟一地确定了在点（0, 1）近旁连续可微的两个二元函数
满足f （0, 1）=1, g （0, 1）= ﹣1且
5． 求
梯度, 并求梯度为零之点.
【答案】因为
在点B （-1, -1, -1）: gradu= （-8, -4, -10）; 因
令
解之得x=5, y=3,
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在点 O （0, 0, 0）, A （1, 1, 1）, B （-1, -1, -1）处的
所以:
在点O （0, 0, 0）: gradu= （-4, 2, -4）; 在点A （1, 1, 1）: gradu= （0, 8, 2）;
. 因此使梯度为零之点为
6． 过直线
【答案】设
作曲面切点坐标为
的切平面, 求此切平面的方程. , 则
曲面在点P 0的法向量为即
, 又过直线T 的平面方程为
其法向量为, 于是有
解之得
或
故所求的切平面方程为
_ 或
7． 设函数y=f（x ）在点x 三阶可导,
且
以及
【答案】
*
8． 计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
其中D :►其中D :
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:
. 若f （x
）存在反函数
,
试用
表示 .
, 其中D :, 其中
, 其中
.