2017年天津医科大学流行病与卫生统计学614数学综合之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
2． 设随机变量序列证:
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
, 结论得证.
试证：A 与B 独立.
得
再由上题即得结论.
又
由
知
都服从区间（0，1）
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
3． 设0 【答案】由条件 4． 设 也是一个分布函数. 都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明： 【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为 都是分布函数，故当 第 2 页，共 42 页 时，有 于是 （2）有界性. 对任意的x ，有 且 （3）右连续性. 5． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式 （1）（2）（3） 【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式. （1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记 为第k 次取到白球的概率，则有 且 即 对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率. （3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率. 6． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的, 为取自此总体的次序统计量, 设 试证: （1）（2） （3）和的协方差矩阵为 且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量: 第 3 页，共 42 页 其中 成立. 【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量； （2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故 （3）和的联合分布函数为: 又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U 则 所以, 结合（2）可知, 和的协方差矩阵为: 7 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则 【答案】因为 所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布 的特征函数, 由唯一性定理知 8． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证： 第 4 页，共 42 页 , 且X 与Y 独立, .
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