2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为韦布尔分布
其密度函数为
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.
为
因而最小次序统计量这说明.
2． 设
的分布函数为
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
3． 如果
且.
有
故当即对任意的
时, 有
有
于是有
从而
成立, 结论得证.
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的
4． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:
【答案】注意到
其中
是取自该总体的简单随机样本,
, 而
为样本均值, 为
又
由此,
5． 设
为来自指数分布
的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸 6． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
证明:
独立同分布，
，证明：
是的相合估
与
诸
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布
：
7． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
故有
即X 与Z 不独立.
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