2017年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设0 【答案】由条件 得 2． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则 【答案】因为 所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布 3． 设随机变量 （1）（2） 【答案】（1）设所以当即 时, 的密度函数为 即（2）因为以 由此得 所以（X , Y ）的联合密度函数为 这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量. 第 2 页，共 42 页 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. , 且X 的特征函数, 由唯一性定理知 相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明: 和 则 的密度函数为 则 所以 当 是相互独立的标准正态随机变量. 与 时, , 所以 又因为 所 4． 证明:若则对有 并由此写出与 其 中 【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示 为 且u 与v 独立, 从而有 由于 将两者代回可知, 在 时, 若r 为奇数, 则 若r 为偶数, 则 证明完成. 进一步, 当r=l时 , 时, 5． 证明 ： 【答案】不妨设另一方面，还有 综合上述两方面，可得 则 （此时要求 （此时要 求否则方差不存在）. 否则均值不存在）, 当r=2 6． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为 的泊松分布. 【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有 这表明：Y 服从参数为 第 3 页，共 42 页 的泊松分布. 7． 证明:若与 则当时有由此写出E （F ） 【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为 , 其中. 由 且v 与W 相互独 容易算得 从而可得当r=l时, 只要 就有 在其他场合, 不存在. 当r=2时, 只要 就有 8． 设 【答案】若 , 证明: 服从贝塔分布, 并指出其参数. , 则X 的密度函数为 由 在 上是严格单调增函数, 其反函数 为 Z 的密度函数为 整理得 第 4 页，共 42 页