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一、证明题

1． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

2． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

3． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

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中抽取的简单样本,

试证

为充分统计量.

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：

都是分布函数，故当

时，有

与

的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

由于,

所以

4． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）

存在，试证明：

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

6． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

7 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

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即A ，B 相容.

令

时, 有

时, 有

当, 结论得证.

的容量为

的样本中位数是

证明

的密度函数关于

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为

其中可得

与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

这表明密度函数是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

与E

8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.

因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记

为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.

二、计算题

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