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一、证明题

1． 设f (x ) 在

(1) (2) 设(3) 若条件改为

【答案】(1)

由界. 根据单调有界定理

(2) 设因此

由于f

在

时

所以由

可推出

知，

数列为收敛数列.

上连续，对

两边取极限，得

上连续，满足则有

则

|知，

数列

有

为递减数列.

由

设

证明：

为收敛数列；

(3) 此时(1) ，(2) 的结论仍成立.

因为当

2． 设f (x ) 在(a , b ) 内二次可微，求证：

满足

【答案】令

利用

中值定理得

利用

中值定理得

令

则

原式

3． 设x=x(y ，z ) ，y=y(z , x ) ，z=z(x , y ) 为由方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数. 证明：

【答案】由隐函数定理知

所以得

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4． 设

在

上连续，证明

则

使得

则

.

【答案】令因

.

在[0, 1]上连续，故记

不妨设

因

在[0, 1]上连续，

故且

时，有

因当

记时，有

则存在正整数从而当

使得当时，有

由(3) 和(7) 知，当

「时，有

综上，即证得

5． 证明数列

收敛，因此有公式

式中

577216... 称为尤拉常数，且当

时，.

并利用该公式求极限

，

时，有

在[0, 1]上一致连续，

故对上述的正数

当

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【答案】因为

所以

于是有

各式相加得

于是

即所以

下界. 其次

单调递减. 从而数列{xn}收敛，设

即

它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知

两式相减得

所以

二、解答题

6． 求下列函数的稳定点：

【答案】（1

）

故（2）

7． 求曲线积

分

交成的曲线.

【答案】

等价于

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由

的稳定点是由

得

解得

得解

得

故f （x ）的稳定点是x=l. 这里L 是球

面

与