2017年浙江大学数学学院819数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若
在
只
要
内连续，且
则
对又因
为
存在，求证：存
在
在
则有
即
2． 给定积分换满足
证明：
【答案】利用复合函数的微分法，有
通过计算易知
注意到
可得
3． 证明下列结论：
(1) 若f (x , y) 在某域G 上对x 连续，关于x 对y —致连续，则f (x ，y ) 在G 上连续； (2) 若f (X ，y ) 在某域G 上对x 连续，对y 满足利普希茨条件，即
其中
在G 上连续.
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在
时
，
内有界.
即
有使
得
【答案】
设使得
当
上连续，所以存
在
在内有界.
作正则变换
区域D 变为，如果变
使得
有
为常数，则f (x , y) 在G 上连续；
(3) 若f (x ，y ) 在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续，并且对其中一个变量单调，则f (x , y)
(1) 任取【答案】当
在点
有
连续. 由(2) 任
取
取
并使点
且
连续，从而对上述
由于f (x , y) 关于x 对变量y —致连续，所以时有
当
的邻域全部含在G 内，则当的任意性知f (x , y) 在G 上连续.
由
在
点则
当
取
时
所
以
连续，所
以
当
则
时
有
当有在
点在
时，由利普希茨条件
得
又f (x ，y ) 关于x 连续，
所以时有
取时，
因此f (x ，y )
在点
连续. 由
点连续，于是
在点取但是
的任意性知当
连续，故对上述的
则当
时有
在G 上连续.
由f (X ，y ) 对y 连续，从而
当时有
时有
又由f (x ，y ) 对x 连续，
所以
(3) 不妨设f (X ，y ) 关于y 单调. 任取
所以f (x ，y ) 在点
4． 若
连续. 由的任意性知f (x ，y ) 在G 上连续.
有
在R 上存在三阶连续导数，且
证明:将
.
至多是二次多项式.
在x 处作泰勒展开
【答案】只需证：
将上两式代入所给的等式中，比较两端可得
当
时，有
由三阶导数的连续性，有
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5． 设均为定义在上的有界函数. 证明：若仅在中有限个点处
则当在
上可积时，g 在
上也可积，且
【答案】设与
在
上的值仅在k 个点
处不同，
记
由于
在
上可积. 存在
使当
时，
有
令
则当
时，有
当时，所以上式中至多仅有k 项不为0, 故
这就证明
在可积，且
二、解答题
6． 计算第二型曲面积分
其中f (x , y, z) 为连续函数，是平面在第四卦限部分，方向取上侧. 【
答
案】
设
曲
面
的
单
位
法
向
量
为
由此可得
具体到本例，
因而
于是
其中是曲面在平面的投影。
7． 求
【答案】由分部积分可得
令
则
所以
故得
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则