2018年内蒙古民族大学数学学院706数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 试用一致连续的定义证明:若f , g都在区间I 上一致连续, 则f+g也在I 上一致连续.
【答案】因为f , g在区间I 上一致连续, 所以对任给的使得当当有
故f+g在I 上一致连续.
2． 证明下列函数在x=0处不可导:
（1）（2）
【答案】（1）因为（2）先求
, 当
时,
. 于是
再求
, 当
时,
, 于是
因为
3． 证明下列不等式:
（1）（3）
【答案】（1）因为续, 且不恒等于1或
, 所以由积分不等式
即
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, 存在
,
则当
,
时,
时, 有时,
有
.
取
；
' ；
, 所以
在x=0处不可导.
, 所以在处不可导.
（2
）（4）（
, 函数
在
上连
（2）因为在[0, 1]上, （3）由于在
上,
, 且函数不恒等于1和e , 所以有
, 所以有
（4）设大值点,
,
则, 得f （X ）在[e, 4e]上惟一的驻点为. 可验证它是极
而可导函数惟一的极大值必为最大值, 所以又
从而 4． 证明
【答案】将
作偶延拓到
,
且, 由此得
为函数f （x ）在[e, 4e]上的最大值,
, 故
在[e, 4e]上的最小值,
上, 再在
外作周期延拓, 于是
故
即
5． 设
是闭区间
上的连续可导函数. 记证明:
【答案】用反证法:若但
而在某个
是有限集.
内亦有
于是当n 充分大时,
介于
与x 之间, 这与Lagrange 中值定理矛盾. 所以
满足关系
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. 假设
且
无限, 则
是有限集.
6． 设定义在[a, b]上连续函数列
对于在[a, b]上的可积函数f , 定义
证明:
收敛, 且有不等式
【答案】设
依题意可知
与
均在[a, b]上可积
.
其中
所以
故
即级数
的部分和有上界, 从而
收敛, 且
二、解答题
7． 求极限
.
【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令
显然, f （x , y ）在
原极限=
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上连续, 由连续性定理, 有