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一、证明题

1． 设

证明函数.

存在惟一的零点.

所以存在

之间至少存在一个零点. 又因

使

所以f (x ) 在

则由f (x ) 显然

上单调

【答案】因为连续知，f (x ) 在.

递増，所以f (x ) 存在惟一的零点.

2． 设在上三阶可导，证明存在

【答案】则有使得

即

3． 设为

上以p 为周期的连续周期函数，证明对任何实数a , 恒有

【答案】

令

故有

4． 证明下列不等式：

【答案】(1)

因为等于1或

所以由积分不等式

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使得

连续使用柯西中值定理，

则

从

而(常数) ，

令

得

在上连续，且不恒

即(2) 因为在(3) 由于在

上

，

且函数不恒等于1和所以有

上

，

所以有

(4) 设

则

得

在

上惟一的驻点为

为函数

为

在在

可验证它是极大值上的最大值，

又

上的最小值，

从而

点，而可导函数惟一的极大值必为最大值，

所以

且

由此得

故

5． 证明下列结论：

(1) 若(2) 设在

而数列

在与

上严格递增，且对在

则

上有定义，

单调，对任意正整数

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

再证：当

由

时有

(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

矛盾. 从而当

时有

即

使得

即

单调递増，则有

知

时有

(2) 不妨设

单调递增. 对

的子列

有

则. 使得

不以

则

已知

从而

有为极限，从

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

二、解答题

6． 计算四重积分

【答案】作变换则得

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其中

7． 求极限

【答案】先求

为此令

取对数得

而

故

再令

而

由于

则

和

所以式（1）的极限等于0, 从而原极限=1.

8． 求下列极限（其中n 皆为正整数）

.

.

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