2018年华东理工大学理学院817高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
2． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
则由基
其中
是3维向量空间
到基
则PAQ=B 的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
,
故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
则A 与B （ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
，
即
时，二次型可化为
所以f 为正定的. 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则A 与B （ ）.
则当
二、分析计算题
6． 设为数域P 上n 维线性空间V 的线性变换, 且秩
【答案】设则
是V 的基, 且
下面证明存在矩阵B , 使
得因为
所
以
解
令
则
令
B 则
在性的证明是类似的.
7． 设3阶方阵A 的特征矩阵,
与
等价,
（1）求
的标准形；
则存在V 的线性变换
使
考虑线性方程
组
故
有
线性变换的存