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一、证明题

1． 证明

【答案】对任意的数

2． 设

在

由不等式则当

在[0, 1]上连续, 求证:

【答案】分两种情况讨论.

（1）如果f （X ）在[0, 1]上不变号, 则

即要证的不等式成立.

如果f （x ）在[0, 1]上变号, 则存在又因为f （x ）在[0, 1]上连续, 存在

, 使得

使得

f

故有

即要证的不等式成立. 3． 设

【答案】（1）当

时, 由于

此即

用

语言证明:

, 当

时, 有

（用微积分基本定理）

得时, 有

限制时

, , 即

故. 当

时, 函

其

中取

上是严格减函数.

于是当

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（2

）当

时, 由于

令而

4． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增

.

. 即

设所以

于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对

, 成立

则

存在

当

时,

有

二、解答题

5． 求

【答案】

.

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而

于是

原积分

6．

求

【答案】由上的最值问题.

令当当

7． 求由抛物线

【答案】因为积为

其中

所以

.

上的最大值和最小值.

=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）, 则

在区域D

或或

即即

或时, z=f （x , y ）取最大值或

时, z 取最小值

.

;

将其与f （

0, 0

）

=0进行比较知,

所求函数的最大值为

与直线

所围图形的面积. 的交点为

与

, 最小值为.

所以由这两条曲线所围图形的面