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一、证明题

1． 设为连续函数，

均为可导函数，且可实行复合

与

证明：

【答案】取

且

于是

2． 证明：若函数，在光滑曲线L

:

. 其中

为的弧长.

存在，且

又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：

使

令

3． 设

【答案】

4． 证明：若

【答案】由于得当n>N时

即且

则因此，当

存在正整数N ，使

时，有

根据数列极限的保号性知，对任意的

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定义域内一点a , 则令则

上连续，则存在点

...

使得

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为

在上连续，由积分中

显然

证明

所以

又因为

5． 设级数

收敛，证明

【答案】因为

收敛，即

在在

且

故

单调且一致有界，又级数在

上一致收敛，

又

由迫敛性

上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，上连续，故

上也连续，即

6． 证明下列结论：

(1) 设

(2) 设都存在.

【答案】(1)

对

又由

且当，所以

(2)

有

知

存在. 同理设对

由

故当

也存在

.

定义函数

则

在

上连续，从而一致连续，故

在

内一致连续.

在在在

时

有

时，

或者

上一致连续. 内一致连续，则

时有

对

当

时

由柯西收敛准则

或者

由柯西收敛准则

，

上连续，从而一致连续，

故对上述的

取

有

，

当

则

对

，

不论哪种情况均有

在

上连续，且

存在，则

在

在

I

上一致连续；

及

在有限开区间

内连续，则

内一致连续

二、解答题

7． (1) 讨论函数

(2) 求函数【答案】(1) 显然

在

.

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在(0, 0) 处的可微性. 下的最大值与最小值.

所以，令

在(0, 0) 处不可微.

函数即

解得再由由于

值为一3.

方法二利用等号成立当且仅当即得

8． 设导数.

证明：

【答案】

在

不等式

下的最大值为3, 最小值为-3. 和

都有连续的一阶偏

，

即

所以

得

或者

则驻点为

下的最大值为3，最小

(2) 方法一 作

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