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一、证明题

1． 证明：若在则有

【答案】

设分点的任何取法，只要

上可积，在

则由定积分定义，对任给的

就有

由

现设

在由于

时，恒有

和

对于

上对

令

上的任何分割

用拉格朗日中值定理，得

，则

得从而当

的一个分

割时(此时

且

故

即

满

足

有

且

及任意分点

在

上可积知

，

在

在

上有界.

设

如果

则

此时

结论显然成立。

上连续，

又由于

在

上可积，故有界，又由导函数的达布

使得当

且

定理知没有第一类间断点，故在

上连续. 从而一致连续，故存在

使得对

的任何分割及

上严格单调且在

上可积，

2． 设在上续，则取知

证明：对任意正整数n ，存在即可. 若

令

则

使得，在

上连续.

【答案】若由

若若

，则取不全为0, 则必有两点

中任一点即可；

使得

由根的存在定理， 3． 设

于

【答案】显然，由题设知

所以对一切n

都有

于是，当

即

递减，并且0是

的一个下界

.

即存在.

设

递增. 由

知，

是在

得

所以

4． 证明下列结论：

(1) 设函数列收敛，则

(2)

设散，则

中的每一项

b]上的单调函数. 若都是[a，

都绝对

的一个上界. 由单调有界定理知，的两边同时取极限，

得到

对

的极限都即a=b，

又由

两边取极限

得

时，

记

证明：数列

与

的极限都存在且等

使得

•即

在[a，b]上绝对收敛且一致收敛；

都在[a，b]上连续，

级数

在[a，b]上非一致收敛.

都收敛.

则由

在[a，b]上处处收敛，而在x=b处发

【答案】(1) 由已知令

知收敛. 由在[a，b]上

单调，所以

由M 判别法知级数(2) 假设及

由于

有

在[a，b]上绝对收敛且一致收敛.

存在正整数N ，当n>N时，对任意正整数p

在[a，b]上一致收敛，则

都在[a，b]上连续，令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立，由柯西收敛准则知致收敛.

5． 设

收敛，矛盾. 故

在[a，b]上非一

在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：

其中是沿L 外法线方向n 的方向导数.

所以

【答案】因为

因为在D 上具有连续偏导数，由格林公式得

故

6． 设函数f 在

【答案】设由于是

得

同理，由

也可推出

因此，

上满足方程令

且

则

证明,

，由归结原则得

二、计算题