2017年新疆农业大学草业与环境科学学院610大学数学2之高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】
设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
2． 求曲线
将己知点的坐
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
.
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
3． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?
【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为
在点x 0处的线密度为
4． 设光滑曲线
【答案】根据题设条件得
即
取
故
积分得
由初始条件
知
且
在积分方程两端对x 求导，
得
过原点，且当
时
对应于
一段曲线的弧长为
求
5． 作适当的变换，计算下列二重积分:
（1
）
, 其中D 是平行四边形闭区域，它的四个顶点
是
;
（2）象限内的闭区域:
（3）（4）
, 其中D 是由x 轴、y 轴和直线x+y=1所围成的闭区域;
, 其中
【答案】（1）令
，则依次与
成
平面上与D 对应的闭区域于是
的边界。
（图）
。在这变换下，D
的边界
对应。后者构
。
其中D 是由两条双曲线xy=1和xy=2，直线y=x和y=4x所围成的在第一
图
又
因此
（2）
令
，
则依次于u=1，
对应，后者构
成
。在这变换下，D
的边界。于
是
的边
界
平面上与D 对应的闭区
域
（图）又
因此
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