2018年曲阜师范大学统计学院750数学分析A考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则
【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得
由l 方向固定,
都是常数, 故
, 由高斯公式得
2． 证明:若函数, 在光滑曲线L :
其中
为L 的弧长.
存在, 且
又因f 在L 上连续, L 为光滑曲线, 所以定理知:
-使
令
, 显然
, 所以
3． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:
则函数【答案】令
也满足此方程.
则有
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其中n 为曲面S 的外法线方向. 和
, 则
上连续, 则存在点
,
使得
【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续, 从而曲线积分
与
在上连续, 由积分中值
①
同理
由于
故有
同理
将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得
②
二、解答题
4． 设
【答案】令
, 则
因为
所以
记
, 对固定的n , 在
上应用第一积分中值定理, 有
9
其中
, 通过计算可得
故
.
, 求
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5． 计算下列三重积分:
（1）（2）（3）
, 其中
, 其中
, 其中
及
; （
）所围区域;
, z=0和x=h所围区域.
【答案】（1）因为关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以
（2）作变换于是
I
（3）作变换区域变为:
, 即, 从而
6． 在曲面z=xy上求一点, 使这点的切平面平行于平面x+3y+z + 9 = 0, 并写出这切平面方程和法线方程.
【答案】设所求点为
点P 处切平面法向量为
要求切平面与平面x +3y+ z+9=0平行, 故且点P 处的切平面方程为法线方程为
从而
即x+ 3y +z +3=0.
即3 （x+3） =y+l=3 （z —3）.
得P 点为（-3, - 1, 3）
, 则
,
, 则区域变为:
,
, 且
7． 设是不含原点的有界区域, 其体积为V , 边界为光滑的闭曲面, n 是的外法线单位向量, r= （x , y , z ）, f （x ）是
上的连续可微函数, 它满足微分方程
【答案】因为:r= （x , y, z ）的单位向量为位向量为
,
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. 求
, 其中, 的外法线单
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