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一、证明题

1． 证明：若数列

收敛于a ，则级数

【答案】级数的前n 项和

.

而

所以

即

2． 证明不等式

【答案】作

则

所以因此，在

在上，有

上严格单调减少，而

即

定理(致密性定理) ，并用(1) 证明(2) .

中必存在有限

3． 叙述(1) 有限覆盖定理和(2) 魏尔斯特拉斯

【答案】(1) 有限覆盖定理：若个开区间来覆盖[a，b].

(2)

为闭区间[a，b]的一个(无限) 开覆盖，则在

定理(致密性定理) ：有界数列必存在收敛子列.

若

中任意一子列的极限. 由此可知，存在

中无收敛子列，则对任意

的在

中至多只含

中存在有限个开区间

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反证法. 设数

列

不是

有

显然

中的有限项. 于是得一满足上述条件的开区间族

为[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，

根据限项，这与

的构造性质可知，中，

中也只含有中的有限项，从而[a, b]中也只含有中的有

矛盾，所以结论得证.

二、解答题

4． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。

图

【答案】椭圆柱面的方程为性质有

解得

于是

故所求体积

5． 求下列不定积分：

【答案】

6． 举例说明：瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

故瑕积分

发散

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设垂直于X 轴的截面面积为则由相似三角形的

收敛，但

7． 求曲面方程

的切平面，使其垂直于平面和

【答案】设曲面在点，：处的切平面垂直于所给两平面，由曲面在点P 。处切平面

知Po 应满足：

解得

故所求切平面为：

8． 设f 为可导函数，求下列各函数的一阶导数：

【答案】 （1）

（2）

9． 讨论反常积分

【答案】

当

的敛散性.

时，对

一切

发散. 有存在，故

收敛.

而

收敛，所

有

而

发散，

故

发散，从而

当P<1时，对一切

以

收敛，又

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