2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 按一致连续的定义论证：
(1
) (2)
在在
上一致连续； 上一致连续. 取时，有
时，不妨设
在
上一致连续。
(不妨设
(应用了式(1))
所以
在
上一致连续.
2． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
【答案】(1
)
足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一
点
于
是
(2
)
值定理的条件，
于是存在
3． 设可微函数列
对意
且m 个小区间
在
在
在
上收敛
，上作分割
的区间长度
满足
因为(/»:在
在
上一致有界，证明：
对一切
在
上一致收敛.
均有
，
令
使得
则
又因
在
故
上满足拉格朗日中
故
由
知
因为
使
得
因
而
所以
在
上满而故
) ，有
(2) 运用不等式：
则有
时，分两种情形讨论
.
所以
【答案】(1)
【答案】依题意
，
上一致有界，
故存在
及任意
上收敛，所以对于点
对任意
必存在某小区间
存在N , 使得当使
时，对任意
有
由微分中值定理，可得
即对任意从而
在
存在N , 当]上一致收敛.
时，对任意. ，有
二、解答题
4． 设
(1) (2)
连接连接
为连续函数，试就如下曲线：
的直线段；
三点的三角形(逆时针方向) ，
计算下列曲线积分：
【答案】曲线如图所示，
图
(1) 直线段
的方程
(2)
所以
5． （1）设
（2）设
是三次多项式，且有
求
【答案】（1）由假设可知
，其中为
时的无穷小量. 而
所以
进而
从而
.
（2）由已知条件可知
，
都
是的因子，其中A ，B 待定.
于是有
联立（1）、（2）求解得
即
故
6． 试求下列极限：
故可
令