2017年苏州大学数学科学学院618数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 函数不存在原函数；
(2) 符号函数不存在原函数. 【答案】(1) 假设
则
于是
当
时
有
当
时
有
由
于
连续，
即
从而
这与矛盾.
(2) 假设
由拉格朗日定理得
这说明
在点
不可导，与
相矛盾.
2． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有
【答案】令
则
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所
以
同理可证
3． 设f ，g 为定义在D 上的有界函数，满足
(1) (2)
【答案】(1)
设
是，是f (x ) 的一个上界，而
(2)
设
只需证
只需证
是f (x ) 的最小上界，故
因为对一切
因对一切
有
于是
是
有
于
证明：
g (x ) 的一个下界，而是g (x ) 的最大下界，故 4． 用
方法证明
:
【答案】则
因此，
当
时，便有
即
5． 设函数
求证：如果
在
上连续，在
内可导，且
严格单调增加，则
都严格单调増加. 【答案】
不妨设在
使得
(
否则用
分别代替
根据柯西中值定理，存
又因为
严格单调增加，所以
从而
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从而
严格单调増加. 同理可ill
单调增加.
二、解答题
6． 设
【答案】方法一作变量代换
则
方法二因为
所以
7． 求以下数列的上、下极限
【答案】（1）当n 为偶数时，没有其他的聚点. 故
（2）令
则由数列
的偶数项、奇数项组成的数列分别是
因为
所以
和
都是数列
的聚点，由于
没有其他的聚点，因此
当n 为奇数时，
而数列
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