2017年苏州大学数学科学学院618数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 证明下列结论:
(1) 函数不存在原函数;
(2) 符号函数不存在原函数. 【答案】(1) 假设
则
于是
当
时
有
当
时
有
由
于
连续,
即
从而
这与矛盾.
(2) 假设
由拉格朗日定理得
这说明
在点
不可导,与
相矛盾.
2. 设f 是以2π为周期的可积函数,证明对任何实数c ,有
【答案】令
则
第 2 页,共 25 页
所
以
同理可证
3. 设f ,g 为定义在D 上的有界函数,满足
(1) (2)
【答案】(1)
设
是,是f (x ) 的一个上界,而
(2)
设
只需证
只需证
是f (x ) 的最小上界,故
因为对一切
因对一切
有
于是
是
有
于
证明:
g (x ) 的一个下界,而是g (x ) 的最大下界,故 4. 用
方法证明
:
【答案】则
因此,
当
时,便有
即
5. 设函数
求证:如果
在
上连续,在
内可导,且
严格单调增加,则
都严格单调増加. 【答案】
不妨设在
使得
(
否则用
分别代替
根据柯西中值定理,存
又因为
严格单调增加,所以
从而
第 3 页,共 25 页
从而
严格单调増加. 同理可ill
单调增加.
二、解答题
6. 设
【答案】方法一作变量代换
则
方法二因为
所以
7. 求以下数列的上、下极限
【答案】(1)当n 为偶数时,没有其他的聚点. 故
(2)令
则由数列
的偶数项、奇数项组成的数列分别是
因为
所以
和
都是数列
的聚点,由于
没有其他的聚点,因此
当n 为奇数时,
而数列
第 4 页,共 25 页