当前位置:问答库>考研试题

2017年苏州大学数学科学学院618数学分析考研仿真模拟题

  摘要

一、证明题

1. 证明下列结论:

(1) 函数不存在原函数;

(2) 符号函数不存在原函数. 【答案】(1) 假设

于是

连续,

从而

这与矛盾.

(2) 假设

由拉格朗日定理得

这说明

在点

不可导,与

相矛盾.

2. 设f 是以2π为周期的可积函数,证明对任何实数c ,有

【答案】令

第 2 页,共 25 页

同理可证

3. 设f ,g 为定义在D 上的有界函数,满足

(1) (2)

【答案】(1)

是,是f (x ) 的一个上界,而

(2)

只需证

只需证

是f (x ) 的最小上界,故

因为对一切

因对一切

于是

证明:

g (x ) 的一个下界,而是g (x ) 的最大下界,故 4. 用

方法证明

:

【答案】则

因此,

时,便有

5. 设函数

求证:如果

上连续,在

内可导,且

严格单调增加,则

都严格单调増加. 【答案】

不妨设在

使得

(

否则用

分别代替

根据柯西中值定理,存

又因为

严格单调增加,所以

从而

第 3 页,共 25 页

从而

严格单调増加. 同理可ill

单调增加.

二、解答题

6. 设

【答案】方法一作变量代换

方法二因为

所以

7. 求以下数列的上、下极限

【答案】(1)当n 为偶数时,没有其他的聚点. 故

(2)令

则由数列

的偶数项、奇数项组成的数列分别是

因为

所以

都是数列

的聚点,由于

没有其他的聚点,因此

当n 为奇数时,

而数列

第 4 页,共 25 页