2017年苏州大学数学科学学院618数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1)
设(2)
设
在(3) 设f (x ) 在f (x ) 在
故(2) 易知
在点x=0连续，且
对上连续；
在
上连续； 在点上连续.
取
得又
在点
连续，从而
因为
在于是对
令同理由
在
(3) 由
即
对
定号，从而可知
得
对
两边取对数得
在
得
即
令
得因为
都成立.
由已知得上连续.
在
处连续，
在
有
即在所以于是
且上连续.
对
与
同号，
从而
处连续，由(1) 的结论知
上连续. 上单调，所以
都存在，设
. 对
当
时，由
处连续，所以
连续，
且对
满足
则
上单调，
且对
满足
则
满
足
则
在
【答案】(1) 由
利用(1) 的结论知在上连续，从而
2． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：
(1) (2)
【答案】(1) 对任意的
有
于是
故
(2) 对任意的
有
于是
故
3． 证明：(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点
(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】
因为
所以
满足下列条件之一，则
是无穷大数列：
2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：
1)(1) 因为【答案】时，
于是
由此得，当n>N时，所以
也是无穷大数列. (2) 因为
，设r 是一个满足不等式
恒有
由此可知，为凸函数的充要条件是为严格凸
函数的充要条件是
4． 1) 证明：若数列
所以对于存在正整数N ，使得当n>N
，由知是无穷大数列，
的实数，由数列极限的保号性知，存
在正整数N ，使得当n>N时，于是，当n>N时，
因为r>l, 所以
2)(1)
是无穷大数列. 因此，是无穷大数列，即是无穷大数列.
根据上题(1) 的结论有
(2)
于是
所以
故
5． 设S 为非空数集，定义
⑴
【答案】(1) 设又有对于任意正数
界，即
(2) 同理可证.
存在
(2)
则任意
使得
证明：
则于是
，
即
故
是的一个下界.
故
是
的下确
二、解答题
6． 设
【答案】当
时，由
知
当m=n时，有
试求