2017年四川师范大学数学与软件科学学院850数学专业综合[专业硕士]之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则
【答案】设n 和的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得
由的方向固定，
原式=
2． 用确界原理证明有限覆盖定理。
【答案】构造集合H
覆盖闭区间
所以存在一个开区间
能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为
使
取
由确界原理可知，存在
知，必存在
使
则
即
下面证明取
加上，
就得到
和
都是常数，故
由高斯公式得
和
其中n 为曲面S 的外法线方向。
则
能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而
即
用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使
则
所以
能被H 中有限个开区间覆盖，把
也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以这与矛盾. 因此所以定理结论成立。
3． 叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
(1) 惟一性定理：若极限(2) 局部有界性定理：
若
上有界.
(3) 局部保号性定理：若的某空心邻域
使得对一切点
在点
时，
从而，
第 2 页，共 27 页
存在，则它只有一个极限.
则存在点
的某空心邻域
则对任意正数桓有
处的极限，则对任给的
存在使
存在
当
在1
【答案】(1) 设A ，B 都是二元函数
由(2) 设即
的任意性，故A =B
则对
存在
对
有
这说明函数(3) 设故当对于 4． 证明：若在则
在上有界.
由函数极限的定义知：存在相应的
时，
对一切
有
的情况可类似证明.
上为连续函数，且对任何为常数。
时
，今
则有
收敛，因此有公式
有
常数，于是对任
何
这里
有
【答案】由题设知，
当
特别对任何
5． 证明数列
为常数。
式中577216... 称为尤拉常数，且当
所以
时，. 并利用该公式求极限
于是有
【答案】因为
各式相加得
于是
即所以
下界. 其次
单调递减. 从而数列{xn}收敛，设
即
它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知
第 3 页，共 27 页
两式相减得
所以
6． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：
【答案】(1)
由
得
取
由于是
则当
时
知，
对于任给的
在其定义域内连续.
取
则当
于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,
任取
时
的定义域是
因为
的图像关于原点对称，所以对于任给
的
限
制
只需对X>0的情形进行证明. 设
.
二、解答题
7． 计算第二类曲线积分
：
【答案】令
则所求的积分为
方向为逆时针。
令
则
第 4 页，共 27 页